نموذج امتحان الباكالوريا في مادة الرياضيات حساب الاحتمالات

 تمرین محلول في الرياضیات حول دروس الاحتمالات المستوى الثاني باكالوريا، یهدف بالاساس إلى تعزیز فھم المتعلم لمفھوم الاحتمالات وتطبیقاته المختلفة الصعبة الفهم.

 یتناول هذا التمرین مجموعة من الاسئلة التي تغطي مجالات متنوعة مثل حساب احتمال حدوث حدث معین، استخدام واتقان قوانین الاحتمالات الشرطیة، وبناء وتفسیر جداول الاحتمالات.

 كما یساعد هذا التمرین المتعلم على تطویر مھارات التحلیل والتفكیر المنطقي من خلال حل مسائل تتطلب استنتاجات مركبة ومعقدة وتحلیل بیانات معقدة.

 يعتبر هذا التمرين جزءًا مهمًا من المنهج الدراسي ويُعَدُّ أساسيًا للإعداد للامتحانات الإشهادية مثل المستوى الثاني باكالوريا عادية.

نموذج امتحان الباكالوريا في مادة الرياضيات حساب الاحتمالات

نموذج امتحان حول دروس الاحتمالات المستوى الثاني باكالوريا.

أسئلة التمرين

نص التمرين

• يحتوي كيس على عشر كرات: ثلاث كرات بيضاء وثلاث كرات خضراء وأربع كرات حمراء؛ لا يمكن التمييز بينها باللمس. سحب عشوائياً وبتتابع ثلاث كرات من الصندوق.

1) بيّن أن   \( p(A) = \frac{1}{6} \) حيث \( A \) هو الحدث "عدم الحصول على أي كرة حمراء"

2) احسب  \( p(B) \) حيث \( B \) هو الحدث "الحصول على ثلاث كرات بيضاء أو ثلاث كرات خضراء"

3) بيّن أن  \( p(C) = \frac{1}{2} \) حيث \( C \) هو الحدث "الحصول على كرة حمراء واحدة بالضبط" 

4) احسب \( p(D) \) حيث \( D \) هو الحدث "الحصول على كرتين حمراوين على الأقل" 

حل التمرين 

لحل التمرين حول دروس الاحتمالات المستوى الثاني باكالوريا، سنستخدم قوانين الاحتمالات مع الأخذ في الاعتبار أن السحب يتم بشكل عشوائي وبدون إرجاع.

 لنحسب الاحتمالات المطلوبة لكل حالة:

تصحيح التمرين 

1) بيّن أن \( A \) حيث \( A \) هو الحدث "عدم الحصول على أي كرة حمراء"

• لكي لا نحصل على أي كرة حمراء، يجب أن تكون جميع الكرات المسحوبة بيضاء أو خضراء.
• عدد الكرات غير الحمراء = 3 بيضاء + 3 خضراء = 6 كرات
• احتمال سحب ثلاث كرات غير حمراء (بيضاء أو خضراء) من مجموع 10 كرات هو: \( p(A) = \frac{{\binom{6}{3}}}{{\binom{10}{3}}} \)
• حساب عدد الطرق الممكنة لسحب 3 كرات غير حمراء من 6 كرات: \( \binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = 20 \)
• حساب عدد الطرق الممكنة لسحب 3 كرات من 10 كرات: \( \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = 120 \)

إذًا:   \( p(A) = \frac{20}{120} = \frac{1}{6} \)

2) احسب \( B \) حيث \( B \) هو الحدث "الحصول على ثلاث كرات بيضاء أو ثلاث كرات خضراء"

• احتمال الحصول على ثلاث كرات بيضاء أو ثلاث كرات خضراء هو مجموع احتمالين منفصلين.
• احتمال الحصول على ثلاث كرات بيضاء:   \( p(\text{3 بيضاء}) = \frac{\binom{3}{3}}{\binom{10}{3}} = \frac{1}{120} \)
• احتمال الحصول على ثلاث كرات خضراء:   \( p(\text{3 خضراء}) = \frac{\binom{3}{3}}{\binom{10}{3}} = \frac{1}{120} \)

إذًا:   \( p(B) = p(\text{3 بيضاء}) + p(\text{3 خضراء}) = \frac{1}{120} + \frac{1}{120} = \frac{2}{120} = \frac{1}{60} \)

3) بيّن أن \( C \) حيث \( C \) هو الحدث "الحصول على كرة حمراء واحدة بالضبط"

• لحساب احتمال الحصول على كرة حمراء واحدة بالضبط، نسحب كرة واحدة حمراء وكراتين غير حمراء.
• احتمال سحب كرة حمراء واحدة وكراتين غير حمراء هو:   \( p(C) = \frac{\binom{4}{1} \cdot \binom{6}{2}}{\binom{10}{3}} \)
• حساب عدد الطرق الممكنة لسحب كرة حمراء واحدة من 4 كرات:   \( \binom{4}{1} = 4 \)
• حساب عدد الطرق الممكنة لسحب كرتين غير حمراء من 6 كرات:   \( \binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = 15 \)

إذًا:  \( p(C) = \frac{4 \cdot 15}{120} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2} \)

4) احسب \( D \) حيث \( D \) هو الحدث "الحصول على كرتين حمراوين على الأقل"

• لحساب احتمال الحصول على كرتين حمراوين على الأقل، نحسب مجموع احتمالين: الحصول على كرتين حمراوين أو ثلاث كرات حمراوين.
• احتمال الحصول على كرتين حمراوين وكرة غير حمراء:  \( p(\text{2 حمراوين}) = \frac{\binom{4}{2} \cdot \binom{6}{1}}{\binom{10}{3}} \)
• حساب عدد الطرق الممكنة لسحب كرتين حمراوين من 4 كرات:    \( \binom{4}{2} = 6 \)
• حساب عدد الطرق الممكنة لسحب كرة غير حمراء من 6 كرات:   \( \binom{6}{1} = 6 \)

إذًا:   \( p(\text{2 حمراوين}) = \frac{6 \cdot 6}{120} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10} \)

• احتمال الحصول على ثلاث كرات حمراوين:   \( p(\text{3 حمراوين}) = \frac{\binom{4}{3}}{\binom{10}{3}} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30} \)

إذًا:   \( p(D) = p(\text{2 حمراوين}) + p(\text{3 حمراوين}) = \frac{3}{10} + \frac{1}{30} = \frac{9}{30} + \frac{1}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \)

النتائج النهائية:

• \( p(A) = \frac{1}{6} \)
• \( p(B) = \frac{1}{60} \)
• \( p(C) = \frac{1}{2} \)
• \( p(D) = \frac{1}{3} \)