نموذج امتحان الباكالوريا في مادة الرياضيات حساب الاحتمالات | تنزيل PDF

 تمرین محلول في الرياضیات حول دروس الاحتمالات المستوى الثاني باكالوريا، یهدف بالاساس إلى تعزیز فھم المتعلم لمفھوم الاحتمالات وتطبیقاته المختلفة الصعبة الفهم.

تصحيح امتحان الباكالوريا في مادة الرياضيات حساب الاحتمالات | تنزيل PDF 

• نموذج امتحان حول دروس الاحتمالات المستوى الثاني باكالوريا.
•  یتناول هذا التمرین مجموعة من الاسئلة التي تغطي مجالات متنوعة مثل حساب احتمال حدوث حدث معین، استخدام واتقان قوانین الاحتمالات الشرطیة، وبناء وتفسیر جداول الاحتمالات.

 كما یساعد هذا التمرین المتعلم على تطویر مھارات التحلیل والتفكیر المنطقي من خلال حل مسائل تتطلب استنتاجات مركبة ومعقدة وتحلیل بیانات معقدة.

 يعتبر هذا التمرين جزءا مهما من المنهج الدراسي ويُعَدُّ أساسيًا للإعداد للامتحانات الإشهادية مثل المستوى الثاني باكالوريا عادية.

📑 1. جدول المحتويات

1. المفاهيم الأساسية لدرس الاحتمالات
2. نص موضوع الإمتحان
3. حل التمرين
4. تحدي في الاحتمالات المستوى الباكالوريا

2. المفاهيم الأساسية لدرس الاحتمالات

قبل الخوض في انجاز الإمتحان لابأس في التعرف على بعض المفاهيم الأساس لدرس الإحتمالات مادة الرياضيات المستوى باكالوريا.

1. مفاهيم أساسية

• التجربة العشوائية: تجربة لا يمكن معرفة نتيجتها مسبقًا.
• فضاء الإمكانات \( \Omega \): مجموعة جميع النتائج الممكنة.
• الحدث \( A \): مجموعة من النتائج تنتمي إلى \( \Omega \).
• الحدث المستحيل: \( \varnothing \)
• الحدث المؤكد: \( \Omega \)

2. قوانين الاحتمالات الأساسية

• \( 0 \leq P(A) \leq 1 \)
• \( P(\Omega)=1,\qquad P(\varnothing)=0 \)

3. احتمال الحدث المضاد

\( \boxed{P(\overline{A})=1-P(A)} \)

4. اتحاد حدثين

\( \boxed{P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)} \)

إذا كان الحدثان متنافيين:

\( A\cap B=\varnothing \)

فإن:

\( \boxed{P(A\cup B)=P(A)+P(B)} \)

5. الاحتمال الشرطي 

احتمال وقوع \( A \) مع العلم أن \( B \) قد تحقق:

\( \boxed{P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}} \)

ومنها:

\( \boxed{P(A\cap B)=P(B)\times P(A|B)} \)

وكذلك:

\( \boxed{P(A\cap B)=P(A)\times P(B|A)} \)

6. الاستقلالية 

يكون الحدثان \( A \) و \( B \) مستقلين إذا:

\( \boxed{P(A\cap B)=P(A)P(B)} \) أو:\( \boxed{P(A|B)=P(A)} \)

أي أن حدوث أحد الحدثين لا يؤثر في احتمال حدوث الآخر.

7. قانون الاحتمالات الكلية

إذا كانت \( B_1,B_2,\ldots,B_n \) تشكل تقسيمًا لفضاء الإمكانات:

\[ \boxed{ P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i) } \]

ولحالتين فقط:

\[ \boxed{ P(A)=P(B)P(A|B)+P(\overline{B})P(A|\overline{B}) } \]

8. مبرهنة بايز 

لحساب احتمال \( B \) بعد معرفة \( A \):

\[ \boxed{ P(B|A)=\frac{P(B)P(A|B)}{P(A)} } \]

9. شجرة الاحتمالات 

عند استعمال شجرة الاحتمالات:

• على الفروع نكتب الاحتمالات الشرطية.
• احتمال المسار يساوي حاصل ضرب احتمالات فروعه.
• إذا تحقق الحدث عبر عدة مسارات، فإن احتماله يساوي مجموع احتمالات هذه المسارات.

\[ \boxed{ P(\text{chemin}) = \text{produit des probabilités des branches} } \]

10. السحب بدون إرجاع 

إذا كان لدينا \( N \) عنصرًا، منها \( k \) عناصر تحقق صفة معينة: \(P(\text{la caractéristique au premier tirage}) = \frac{k}{N}\)

عند السحب بدون إرجاع، يتغير عدد العناصر بعد كل سحب.

مثال: صندوق يحتوي على 10 كرات، منها 4 حمراء: \( P(R_1)=\frac{4}{10} \)

إذا سحبنا كرة حمراء ولم نرجعها: \( P(R_2|R_1)=\frac{3}{9} \)

إذن: \( P(R_1\cap R_2)=\frac{4}{10}\times\frac{3}{9} \)

11. التوافيق في السحب 

عندما لا نهتم بترتيب السحب نستعمل التوافيق: \( \boxed{ \binom{n}{k}= \frac{n!}{k!(n-k)!} } \)

مثال: \( \binom{10}{3}=120 \)

إذا كان لدينا 10 كرات ونختار منها 3:\( P(\text{événement}) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}} \)

مثال:

\[P(\text{3 boules non rouges})=\frac{\binom{6}{3}}{\binom{10}{3}} =\frac{1}{6}\]

12. أهم القوانين للحفظ

\( \boxed{P(\overline A)=1-P(A)} \)

\( \boxed{P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)} \)

\( \boxed{P(A\cap B)=P(A)P(B|A)} \)

\( \boxed{P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}} \)

\( \boxed{P(A)=\sum P(B_i)P(A|B_i)} \)

\( \boxed{P(A\cap B)=P(A)P(B)} \) إذا كانا مستقلين

\( \boxed{\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}} \)

3. نص موضوع الإمتحان

نص التمرين

• يحتوي كيس على عشر كرات: ثلاث كرات بيضاء وثلاث كرات خضراء وأربع كرات حمراء؛ لا يمكن التمييز بينها باللمس. سحب عشوائياً وبتتابع ثلاث كرات من الصندوق.

1) بيّن أن   \( p(A) = \frac{1}{6} \) حيث \( A \) هو الحدث "عدم الحصول على أي كرة حمراء"

2) احسب  \( p(B) \) حيث \( B \) هو الحدث "الحصول على ثلاث كرات بيضاء أو ثلاث كرات خضراء"

3) بيّن أن  \( p(C) = \frac{1}{2} \) حيث \( C \) هو الحدث "الحصول على كرة حمراء واحدة بالضبط" 

4) احسب \( p(D) \) حيث \( D \) هو الحدث "الحصول على كرتين حمراوين على الأقل" 

4. حل التمرين 

لحل التمرين حول دروس الاحتمالات المستوى الثاني باكالوريا، سنستخدم قوانين الاحتمالات مع الأخذ في الاعتبار أن السحب يتم بشكل عشوائي وبدون إرجاع.

 لنحسب الاحتمالات المطلوبة لكل حالة: 

1) بيّن أن \( A \) حيث \( A \) هو الحدث "عدم الحصول على أي كرة حمراء"

• لكي لا نحصل على أي كرة حمراء، يجب أن تكون جميع الكرات المسحوبة بيضاء أو خضراء.
• عدد الكرات غير الحمراء = 3 بيضاء + 3 خضراء = 6 كرات
• احتمال سحب ثلاث كرات غير حمراء (بيضاء أو خضراء) من مجموع 10 كرات هو: \( p(A) = \frac{{\binom{6}{3}}}{{\binom{10}{3}}} \)
• حساب عدد الطرق الممكنة لسحب 3 كرات غير حمراء من 6 كرات: \( \binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = 20 \)
• حساب عدد الطرق الممكنة لسحب 3 كرات من 10 كرات: \( \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = 120 \)

إذًا:   \( p(A) = \frac{20}{120} = \frac{1}{6} \)

2) احسب \( B \) حيث \( B \) هو الحدث "الحصول على ثلاث كرات بيضاء أو ثلاث كرات خضراء"

• احتمال الحصول على ثلاث كرات بيضاء أو ثلاث كرات خضراء هو مجموع احتمالين منفصلين.
• احتمال الحصول على ثلاث كرات بيضاء:   \( p(\text{3 blanche}) = \frac{\binom{3}{3}}{\binom{10}{3}} = \frac{1}{120} \)
• احتمال الحصول على ثلاث كرات خضراء:   \( p(\text{3 verte}) = \frac{\binom{3}{3}}{\binom{10}{3}} = \frac{1}{120} \)

إذًا:   \( p(B) = p(\text{3 blanche}) + p(\text{3 verte}) = \frac{1}{120} + \frac{1}{120} = \frac{2}{120} = \frac{1}{60} \)

3) بيّن أن \( C \) حيث \( C \) هو الحدث "الحصول على كرة حمراء واحدة بالضبط"

• لحساب احتمال الحصول على كرة حمراء واحدة بالضبط، نسحب كرة واحدة حمراء وكراتين غير حمراء.
• احتمال سحب كرة حمراء واحدة وكراتين غير حمراء هو:   \( p(C) = \frac{\binom{4}{1} \cdot \binom{6}{2}}{\binom{10}{3}} \)
• حساب عدد الطرق الممكنة لسحب كرة حمراء واحدة من 4 كرات:   \( \binom{4}{1} = 4 \)
• حساب عدد الطرق الممكنة لسحب كرتين غير حمراء من 6 كرات:   \( \binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = 15 \)

إذًا:  \( p(C) = \frac{4 \cdot 15}{120} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2} \)

4) احسب \( D \) حيث \( D \) هو الحدث "الحصول على كرتين حمراوين على الأقل"

• لحساب احتمال الحصول على كرتين حمراوين على الأقل، نحسب مجموع احتمالين: الحصول على كرتين حمراوين أو ثلاث كرات حمراوين.
• احتمال الحصول على كرتين حمراوين وكرة غير حمراء:  \( p(\text{2 rouge}) = \frac{\binom{4}{2} \cdot \binom{6}{1}}{\binom{10}{3}} \)
• حساب عدد الطرق الممكنة لسحب كرتين حمراوين من 4 كرات:    \( \binom{4}{2} = 6 \)
• حساب عدد الطرق الممكنة لسحب كرة غير حمراء من 6 كرات:   \( \binom{6}{1} = 6 \)

إذًا:   \( p(\text{2 rouge}) = \frac{6 \cdot 6}{120} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10} \)

• احتمال الحصول على ثلاث كرات حمراوين:   \( p(\text{3 rouge}) = \frac{\binom{4}{3}}{\binom{10}{3}} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30} \)

إذًا:   \( p(D) = p(\text{2 حمراوين}) + p(\text{3 rouge}) = \frac{3}{10} + \frac{1}{30} = \frac{9}{30} + \frac{1}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \)

5. النتائج النهائية:

• \( p(A) = \frac{1}{6} \)
• \( p(B) = \frac{1}{60} \)
• \( p(C) = \frac{1}{2} \)
• \( p(D) = \frac{1}{3} \)

5. تحدي في الاحتمالات المستوى الباكالوريا

تحدي في الرياضيات

يحتوي صندوق على 10 كرات لا يمكن التمييز بينها باللمس: 4 كرات حمراء و6 كرات بيضاء. نسحب عشوائيًا وبالتتابع كرتين دون إرجاع.

المطلوب

1. احسب احتمال الحصول على كرتين حمراوين.
2. احسب احتمال الحصول على كرة حمراء واحدة فقط.
3. نعتبر الحدثين: \( A \): "الكرة الأولى حمراء" و \( B \): "الكرة الثانية حمراء". احسب: \( P(A) \) و \( P(B|A) \).
4. استنتج \( P(A\cap B) \).
5. احسب احتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء مع العلم أن إحدى الكرتين على الأقل حمراء.

💡 إظهار التصحيح

1️⃣ احتمال الحصول على كرتين حمراوين

\( P(A\cap B)=\frac{4}{10}\times\frac{3}{9} \)

\( \boxed{P(A\cap B)=\frac{2}{15}} \)

2️⃣ احتمال الحصول على كرة حمراء واحدة فقط

لدينا حالتان:

• حمراء ثم بيضاء.
• بيضاء ثم حمراء.

\( P(RB)=\frac{4}{10}\times\frac{6}{9}=\frac{4}{15} \)

\( P(BR)=\frac{6}{10}\times\frac{4}{9}=\frac{4}{15} \)

\[ P(\text{حمراء واحدة}) = \frac{4}{15}+\frac{4}{15} = \boxed{\frac{8}{15}} \]

3️⃣ حساب \(P(A)\) و \(P(B|A)\)

\( \boxed{P(A)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}} \)

بما أن السحب يتم دون إرجاع، فإذا كانت الكرة الأولى حمراء فسيبقى 3 كرات حمراء من أصل 9:

\( \boxed{P(B|A)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}} \)

4️⃣ حساب \(P(A\cap B)\)

\[ P(A\cap B) = P(A)\times P(B|A) \]

\[ P(A\cap B) = \frac{2}{5}\times\frac{1}{3} = \boxed{\frac{2}{15}} \]

6. قد يعجبك أيضا

15. امتحان الكفاءة المهنية ديدكتيك الرياضيات دورة 2013

16. روائز التقويم التشخيصي المستوى الإبتدائي PDF

17. تصحيح الجهوي الموحد السلك الإعدادي التربية الاسلامية 2024

18. الامتحان الموحد الإقليمي لنيل شهادة الدروس الابتدائية - يونيو 2026