يعد درس المعادلات التفاضلية السنة الثانية من البكالوريا في الشعب العلمية مثل شعبة العلوم الرياضية (شعبة الرياضيات) وشعبة العلوم الفيزيائية من أهم الدروس في الرياضيات، حيث يساهم درس المعادلات التفاضلية في فهم وتفسير العديد من المسائل والعمليات الرياضية المهمة، وله امتدادت في مجالات الفيزياء والهندسة والاقتصاد حيث تعبر عن العلاقات المترابطة بين المتغيرات ومشتقاتها.
في هذا الدرس، نتعلم كيفية حل تمرين بسيط حول درس المعادلات التفاضلية، ويتضمن التمرين طرق الحل ودراسة التكاملات.
نموذج تمرين درس المعادلات التفاضلية
- نعتبر الدالة \( h \) المعرفة على \( h(x) = (x+1)e^x \).
1.
أ) تحقق أن الدالة \( h \rightarrow x \rightarrow xe^x \) هي دالة أصلية للدالة \( h \) على \(\mathbb{R}\)
- ثم احسب: \[ I = \int_{-1}^{0} h(x) \, dx \]
ب) باستعمال مكاملة بالأجزاء احسب: \[ J = \int_{0}^{1} (x+1) e^x \, dx \]
2.
أ) حل المعادلة التفاضلية \( y'' - 2y' + y = 0 \) (\(E\))
ب) بين أن الدالة \( y = xe^x \) هي حل المعادلة (\(E\)) الذي يحقق الشرطين \( y'(0) = 2 \) و \( y(0) = 1 \).
تصحيح تمرين يتضمن مسائل تتعلق بالدوال، التكاملات، والمعادلات التفاضلية.
1.
أ) تحقق أن الدالة \( h(x) = (x+1)e^x \) هي دالة أصلية للدالة \( h(x) = xe^x \)
- لنعتبر \( H(x) \) دالة أصلية للدالة \( h(x) \): \( H(x) = xe^x \)
- لنتحقق: \( H'(x) = \frac{d}{dx} (xe^x) \) بالتفريق باستخدام قاعدة الضرب: \( H'(x) = x \cdot \frac{d}{dx} (e^x) + e^x \cdot \frac{d}{dx} (x) \) \[ H'(x) = x \cdot e^x + e^x \cdot 1 \] \[ H'(x) = xe^x + e^x \]\[ H'(x) = (x+1)e^x \]
إذن: \( H(x) = xe^x \) هي دالة أصلية للدالة \( h(x) = (x+1)e^x \).
- احسب \( I \) \( I = \int_{-1}^{0} h(x) \, dx \) \( I = \int_{-1}^{0} (x+1)e^x \, dx \)
- نحن نعلم أن الدالة الأصلية لـ \( h(x) \) هي \( H(x) = xe^x \).
- لذا: \( I = H(0) - H(-1) \) \( H(x) = xe^x \) \( H(0) = 0 \cdot e^0 = 0 \) \( H(-1) = (-1) \cdot e^{-1} = -\frac{1}{e} \)
إذن: \( I = 0 - (-\frac{1}{e}) \) \( I = \frac{1}{e} \)
ب) باستعمال مكاملة بالأجزاء احسب \( J \)
- نستخدم قاعدة التكامل بالأجزاء: \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \)
- نأخذ: \( u = x+1 \quad \Rightarrow \quad du = dx \) \( dv = e^x \, dx \quad \Rightarrow \quad v = e^x \)
بذلك:
\[ J = \left[ (1+1)e^1 - (0+1)e^0 \right] - \left[ e^x \right]_{0}^{1} \]
\[ J = \left[ 2e - 1 \right] - \left[ e - 1 \right] \]
\[ J = 2e - 1 - e + 1 \]
\[ J = e \]
2. أ) حل المعادلة التفاضلية \( y'' - 2y' + y = 0 \) (\(E\))
- المعادلة المميزة هي: \( r^2 - 2r + 1 = 0 \)
- بحل المعادلة المميزة نجد: \( (r-1)^2 = 0 \) \( r = 1 \)
- بما أن الجذر مكرر، الحل العام للمعادلة التفاضلية هو: \( y(x) = (C_1 + C_2 x)e^x \)
ب) بين أن الدالة \( y = xe^x \) هي حل المعادلة (\(E\)) الذي يحقق الشرطين \( y'(0) = 2 \) و \( y(0) = 1 \)
- لنحسب مشتقات \( y \): \( y(x) = xe^x \) \( y'(x) = \frac{d}{dx} (xe^x) \) \( y'(x) = e^x + xe^x \)
\[ y''(x) = e^x + (e^x + xe^x) \]
\[ y''(x) = 2e^x + xe^x \]
- الآن نتحقق من المعادلة التفاضلية:
\[ = 2e^x + xe^x - 2e^x - 2xe^x + xe^x \]
\[ = 2e^x - 2e^x + xe^x - 2xe^x + xe^x \]
\[ = 0 \]
إذن: \( y = xe^x \) هو حل للمعادلة التفاضلية.
- الآن نتحقق من الشرطين: \( y(0) = 0 \cdot e^0 = 0 \neq 1 \)
إذن الحل لا يحقق الشرطين المذكورين. يبدو أن هناك خطأ في نص السؤال، حيث أن الحل المذكور \( y = xe^x \) لا يحقق الشروط المذكورة.
دعنا نحاول حلاً آخر.
- بما أن الحل العام هو:
- نستخدم الشروط لحساب الثوابت:
\[ y'(x) = (C_2 + C_2 x + C_1)e^x \]
\[ y'(0) = (C_2 + 1)e^0 = C_2 + 1 = 2 \]
\[ C_2 = 1 \]
- إذن الحل الذي يحقق الشروط هو:
- وليس \( y = xe^x \) كما ذكر في السؤال.