الموحد الجهوي شهادة السلك الإعدادي رياضيات يونيو 2022
تصحيح تمارين الموحد الإقليمي مادة الرياضيات السلك الإعدادي.
التـمرين الأول
أ). \(2(3x + 5) = 4x + 12\)
ب). \(4(2x - 3) + x(2x - 3) = 0\)
2. حل المتراجحة التالية ومثل حلولها على مستقيم مدرج: \(3x + 1 \geq x - 5\)
3. حل جبريًا النظامين التاليين: \(\begin{cases} x + y = 100 \\ 2x + 3y = 220 \end{cases}\)
- توزيع المعامل 2 على الأقواس: \(6x + 10 = 4x + 12\)
- طرح \(4x\) من كلا الطرفين: \(2x + 10 = 12\)
- طرح 10 من كلا الطرفين: \(2x = 2\)
الحل: \(x = 1\)
حل المعادلة: ب) \(4(2x - 3) + x(2x - 3) = 0\)
- توزيع المعامل 4 و \(x\) على الأقواس: \(8x - 12 + 2x^2 - 3x = 0\)
- جمع الحدود المتشابهة: \(2x^2 + 5x - 12 = 0\)
- حل المعادلة التربيعية: \(x = \frac{-5 \pm \sqrt{121}}{4}\)
- إيجاد الجذور: \(x = \frac{3}{2} \quad \text{أو} \quad x = -4\)
2. حل المتراجحة التالية وتمثيل حلولها على مستقيم مدرج: \(3x + 1 \geq x - 5\)
- طرح \(x\) من كلا الطرفين: \(2x + 1 \geq -5\)
- طرح 1 من كلا الطرفين: \(2x \geq -6\)
- قسمة كلا الطرفين على 2: \(x \geq -3\)
تمثيل الحلول على مستقيم مدرج:
الحلول تشمل كل القيم الأكبر من أو تساوي \(-3\) .
3. حل جبريًا النظامين التاليين: \(\begin{cases} x + y = 100 \\ 2x + 3y = 220 \end{cases}\)
- من المعادلة الأولى، حل للحصول على \(y\) بدلالة \(x\): \(y = 100 - x\)
- عوض بقيمة \(y\) في المعادلة الثانية: \(2x + 3(100 - x) = 220\) ثم \(-x + 300 = 220\)
- للحصول على \(x\): \(x=300-220\)
الحل: \(x = 80\)
- عوض بقيمة \(x\) في المعادلة الأولى للحصول على \(y\): \(y = 20\)
إذًا، الحل هو: \(x = 80 \quad \text{و} \quad y = 20\)
لنفرض أن عدد الجرعات من نوع استرازينيكا هو \(a\) ومن نوع فايزر هو \(b\). \(\begin{cases} a + b = 100 \\ 80a + 120b = 8800 \end{cases}\)
- من المعادلة الأولى، حل للحصول على \(b\) بدلالة \(a\): \(b = 100 - a\)
- عوض بقيمة \(b\) في المعادلة الثانية: \(80a + 120(100 - a) = 8800\) \(-40a + 12000 = 8800\)
- حل للحصول على \(a\): \(a = 80\)
4. عوض بقيمة \(a\) في المعادلة الأولى للحصول على \(b\):
\(b = 20\)
إذًا، عدد الجرعات من كل نوع هو:
- استرازينيكا = 80
- فايزر = 20
التـمرين الثاني
قمنا ببحث حول عدد أبناء كل أسرة بأحد الأحياء، فحصلنا على الجدول التالي:
| عدد الأبناء | 3 | 2 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|---|
| عدد الأسر | 8 | 12 | 6 | 10 |
| الحصيص المتراكم |
2. أنقل الجدول ثم أتممه.
3. حدد القيمة الوسطية لهذه المتسلسلة الإحصائية.
4. أحسب متوسط هذه المتسلسلة الإحصائية.
1) منوال هذه المتسلسلة الإحصائية هو : 2
تذكر: منوال متسلسلة إحصائية هو قيمة الميزة التي لها أكبر حصيص.
| عدد الأبناء | 3 | 2 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|---|
| عدد الأسر | 8 | 12 | 6 | 10 |
| الحصيص المتراكم | 8 | 20 | 26 | 36 |
3) تحديد القيمة الوسطية:
- نصف الحصيص الإجمالي: \(36\div 2=18\)
- إذن القيمة الوسطية تقع بين الموقعين 18 و 19، وكلاهما يقعان ضمن الأسر التي لديها 2 أبناء.
- القيمة الوسطية: 2
4) تحديد متوسط السلسة الإحصائية: \( m=\frac{m_{1}\times x_{2} +m_{2}\times x_{2} +..... +m_{n}\times x_{n} }{N}\)
- العدد الإجمالي للأسر هو: \(8+12+6+10=36=N\)
- متوسط السلسة الإحصائية: \( m=\frac{10\times 0 +6\times 1 +12\times 2+8\times 3 }{36}\)
\( m=\frac{0 +6+24+24}{36}\) \( m=\frac{54}{36}\) \( m=1,5 \)
التمرين الثالث
أ) زوج إحداثيتي المتجهة \(\overrightarrow{AB}\):
- لإيجاد إحداثيات المتجهة \(\overrightarrow{AB}\)، نطرح إحداثيات النقطة \(A\) من إحداثيات النقطة \(B\): \(\overrightarrow{AB} = B(-1;3) - A(2;3)\)
- حيث \(A(2, 3)\) و \(B(-1, 3)\)، وبالتالي: \(\overrightarrow{AB} = (-1 - 2, 3 - 3) = (-3, 0)\)
- لحساب المسافة \(AB\)، نستخدم صيغة المسافة بين نقطتين: \(AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
- حيث \(A(2, 3)\) و \(B(-1, 3)\): \(AB = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 0} = \sqrt{9} = 3\)
- لحساب منتصف القطعة المستقيمة بين نقطتين.
- حيث \(B(-1, 3)\) و\(C(2, 5)\): \(M = \left(\frac{-1 + 2}{2}, \frac{3 + 5}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 4\right)\)
- وبالتالي، النقطة \(M\left(\frac{1}{2}, 4\right)\) هي بالفعل منتصف القطعة \([BC]\).
- لنستخدم نقطتين \(A(2, -3)\) و \(B(-1, 3)\) لإيجاد معادلة المستقيم.
- معادلة المستقيم في صيغة الميل والمقطع هي \(y = mx + b\)، حيث m هو الميل و b هو الأرتوب عند الاصل.
- نحسب الميل m كالتالي:
- نعوض m في المعادلة: \(y = -2x + b\)
- النقطة \(A(2, -3)\) تنتمي للمستقيم: \(-3 = -4 + b\)
- إذا: \(b=1\)
- المعادلة المختصرة للمستقيم \(AB\) هي \(y = -2x+1\).
- نعتبر المستقيم \(\Delta\) ذو المعادلة \(y = \frac{1}{2}x + 1\).
- لنحسب ميل المستقيم \(AB\): ميل المستقيم \(AB\) هو \(m=-2\)
- المستقيم \(\Delta\) له ميل: \(n=\frac{1}{2}\)
- \(n\times m=\frac{1}{2}\times(-2)=-1\)
- بما أن المستقيم \({\Delta}'\) موازي للمستقيم \(AB\)، فسيكون له نفس الميل.
- معادلة المستقيم الموازي تكون كالتالي: \(y = mx + b\)
- بما أن الميل \(m = -2\) (من المستقيم \(AB\))، فإن المعادلة تصبح: \(y = -2x+b\).
- وبما أن المستقيم يمر من النقطة \(C(2, 5)\).
- معادلة المستقيم \({\Delta}'\) تكون كالتالي: \(y = -2x + 9\)
التمرين الرابع
ليكن ABC مثلثًا بحيث النقطة I هي منتصف القطعة BC. نبدأ بحل الأجزاء المطلوبة:
2- النقطة F بحيث \(2\overrightarrow{BF} - 3\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}\)
لدينا: لدينا: \(\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AC}\)
ولدينا أيضا:
- بما أن: \[\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AE}\] فإن F هي صورة C بالإزاحة t.
- لدينا: \(\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AE}\)
- بما أن: \[\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AC}\]
- فإن الرباعي ( AECF) هو متوازي الاضلاع.
التمرين الخامس
أ) احسب صورة العدد 2 بالدالة \( f \).
نحسب \( f(2) \):
\[ f(2) = -\frac{3}{2} \cdot 2 = -3 \]
ب) أنشئ المستقيم \((\Delta)\) التمثيل البياني للدالة الخطية \( f \) في معلم متعامد ممنظم \((O; I; J)\).
أ) بين أن صيغة الدالة \( g \) هي: \( g(x) = \frac{1}{2} x + 4 \)
- نعرف أن \( g(2) = 5 \) وبالتالي: \[ 5 = \frac{1}{2} \cdot 2 + b \]
\[ 5 = 1 + b \]
\[ b = 4 \]
- إذن، صيغة الدالة \( g \) هي: \[ g(x) = \frac{1}{2} x + 4 \]
ب) حدد العدد الذي صورته 3 بالدالة \( g \).
- نحسب \( g(3) \): \[ g(3) = \frac{1}{2} \cdot 3 + 4 = 1.5 + 4 = 5.5 \]
ج) في نفس المعلم السابق أنشئ المستقيم \((D)\) التمثيل البياني للدالة التالية \( g \).
(أنظر المبيان).
د) هل النقطة \( H(12 ; 10) \) تنتمي إلى المستقيم \((D)\)؟ علل جوابك.
- نحسب قيمة الدالة \( g \) عند \( x = 12 \): \[ g(12) = \frac{1}{2} \cdot 12 + 4 = 6 + 4 = 10 \]
- بما أن \( g(12) = 10 \)، إذن النقطة \( H(12 ; 10) \) تنتمي إلى المستقيم \((D)\).
التـمرين السادس
- SA = 18 cm
- BC = 5 cm
- AB = 12 cm (أنظر الشكل جانبه)
ب - استنتج المسافة \(SC\).
3) أحسب حجم الهرم \(SABCD\).
4) الهرم \(SOMN\) هو تصغير للهرم \(SABC\) بنسبة \(\frac{3}{5}\).
- أحسب مساحة المثلث \(OMN\) قاعدة الهرم \(SOMN\).
نعتبر هرمًا \( SABCD \) ارتفاعه [SA] وقاعدته المستطيل \( ABCD \) بحيث :
- SA = 18 سم
- BC = 5 سم
- AB = 12 سم (أنظر الشكل جانبه)
- باستخدام نظرية فيثاغورس في المثلث القائم \(ABC\):
\(AC^2 = 12^2 + 5^2\)
\(AC^2 = 144 + 25\)
\(AC^2 = 169\)
\(AC = \sqrt{169}\)
\(AC = 13 \text{ cm}\)
- بما أن \(SA\) هو ارتفاع الهرم وعمودي على قاعدة المستطيل \(ABCD\)، فإن المثلث \(SAC\) قائم الزاوية عند النقطة \(A\).
\(SC^2 = 18^2 + 13^2\)
\(SC^2 = 324 + 169\)
\(SC^2 = 493\)
\(SC = \sqrt{493}\)
\(SC \approx 22.2 \text{ cm}\)
حجم الهرم يُحسب باستخدام الصيغة:
- مساحة الهرم = مساحة القاعدة X الإرتفاع \'\times\frac{1}{3}\)
- مساحة قاعدة المستطيل \(ABCD\): \(AB\times BC\)
- مساحة قاعدة المستطيل \(ABCD\): \(2\times 12\)
- مساحة قاعدة المستطيل \(ABCD\): \(60 cm²\)
- الارتفاع \(SA = 18 \text{ cm}\)
- لذا: حجم الهرم: \(\frac{1}{3} \times 60 \times 18\)
- حجم الهرم: \(\frac{1}{3} \times 60 \times 18\)
- حجم الهرم: \(\frac{1}{3} \times 1080\)
- حجم الهرم: \(360 cm^{3}\)
- الهرم \(SOMN\) هو تصغير للهرم \(SABC\) بنسبة \(\frac{3}{5}\).
- إذا: مساحة قاعدة الهرم \( SOMN \): \({S}'=S\times\frac{3}{5}^{2} \)
- الهرم \( SOMN \) هي: \(60\times(\frac{3}{5})^{2}\)
- مساحة قاعدة الهرم \( SOMN \) هي: \[21,6 cm^{2}\]
- مساحة المثلث \( SOMN \): هي نصف القاعدة: \( SOMN \):\[21,6cm^{2}\div 2=10,8 cm^{2}\]