المثلث - مفاهيم هندسية المستوى الأولى اعدادي

 ما هو المثلث، كيف ننشئ المثلث، ما هي قياسات أضلاع وزوايا المثلث، فيما نستعمل المثلث، وكيف ننشئ ارتفاعات مثلث.

المثلث - مفاهيم هندسية أساسية.

تعريف

المثلث هو عبارة عن ثلاثة اضلاع بقياسات مختلفة، هناك عدة أنواع من المثلتات، مثلث باضلاع مختلفة ومثلث قائم الزاوية له زاوية  90 درجة ومثلث متساوي الاضلاع هو مثلث اضلاعه متقايسة ومثاث متساوي الساقين اي له ضلعين بقياسات متساوية.

أهداف الدرس.

التمكن من:

•  استعمال مجموع قياس زوايا المثلث.
•  إنشاء مثلث أطوال أضلاعه معلومة.
•  إنشاء إرتفاعات مثلث.
•  تحديد وانشاء واسط قطعة واستعمال الخاصية المميزة.
•  تحديد وانشاء منصف زاوية باستعمال الخاصية المميزة.

ملخص زوايا المثلث:

- مجموع قياس زوايا مثلث يساوي 180 درجة.

مثلث قائم الزاوية:

 إذن \[ \hat{BAC}=90^{\circ}\] \[ \hat{ACB}+\hat{ABC}=90^{\circ}\]

مثلث متساوي الساقين:

 إذن \[ \hat{ISO}=\hat{IOS}\]

مثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين:

إذن \[ \hat{SRT}=90^{\circ}\]\[\hat{RST}=\hat{RTS}=45^{\circ}\] 

مثلث متساوي الاضلاع:

إذن \[ \hat{EFG}=\hat{EGF}=\hat{FEG}=60^{\circ}\]

ملخص أضلاع مثلث:

تعريف:

- طول ضلع في مثلث اصغر من مجموع طولي الضلعين الأخرين.

\[ BC<AB+AC\]\[ AC<AB+BC\]\[ AB<AC+BC\]

- تسمى متفاوتات مثلثية.

- إذا كان \[ C\in [AB]\]

- فإن \[ AB=AC+CB\]

ملخص ارتفاعات مثلث:

تعريف:

- ارتفاعات مثلث هو مستقيم مار من أحد رؤوس المثلث وعمودي على حامل الضلع المقابل لهذا الراس.
- ارتفاعات مثلث تتقاطع في نقطة وحيدة تسمى مركز تعامد المثلث.

- h مركز تعامد المثلث ABC.

ملخص واسطات مثلث:

تعريف واسط قطعة:

- واسط قطعة هو مستقيم يمر بمنتصفها وعمودي على حاملها.

الخاصيات المميزة:

- إذا كان M  من واسط القطعة [AB] فإن MA=MB.

- إذا كان MA=MB فإن M نقطة من واسط القطعة.

ملاحظة:

واسطات مثلث تتقاطع في نقطة وحيدة تسمى مركز الدائرة المحيطة بالمثلث.

ملخص منصفات زوايا مثلث:

تعريف منصف زاوية:

- منصف زاوية هو نصف مستقيم اصله راس هذه الزاوية ويقسمها الى زاويتين متقاسيتين.

الخاصيات المميزة:

-- إذا كانت M نقطة من منصف زاوية  \[ \hat{AOB}\]فإن MH=MK.

- إذا كان MH=MK فإن M نقطة من منصف الزاوية \[ \hat{AOB}\]

ملاحظة:

-- منصفات زوايا مثلث تتقاطع في نقطة وحيدة تسمى مركز الدائرة المحاطة بالمثلث.

 

تمارين تطبيقية:

زوايا المثلث:

تمرين 1.

ABC مثلث، أحسب قياس الزاوية  \[ \hat{BAC}\]في كل من الحالات التالية:

1- \[ \hat{ABC}=40^{\circ}و\hat{ACB}=70^{\circ}\]

2- \[ \hat{ABC}=50^{\circ}و\hat{ACB}=30^{\circ}\]

3- \[ \hat{ABC}=25^{\circ}و\hat{ACB}=100^{\circ}\]

تمرين 2.

ABC مثلث قائم الزاوية في A.

أحسب قياس الزاوية \[ \hat{ABC}\] في كل من الحالات الاتية:

1-  \[ \hat{ACB}=70^{\circ}\]

2- \[ \hat{ACB}=52^{\circ}\]

3- \[ \hat{ACB}=30^{\circ}\]

تمرين 3.

- حدد طبيعة المثلث في كل من الحالات الاتية:

1- \[ \hat{ABC}=70^{\circ}و\hat{ACB}=70^{\circ}\]

2- \[ \hat{ABC}=60^{\circ}و\hat{ACB}=30^{\circ}\]

3- \[ \hat{ABC}=60^{\circ}و\hat{ACB}=60^{\circ}\]

4- \[ \hat{ABC}=45^{\circ}و\hat{ACB}=45^{\circ}\]

تمرين 4.

- ABC مثلث متساوي الساقين في A حيث  \[ \hat{BAC}=80^{\circ}\]

1- أنجز شكلا مناسبا.

2- أحسب قياس الزاوية  \[ \hat{ABC}\]

إنشاء مثلث أطوال أضلاعه معلومة.

تمرين 5.

- حدد من بين الحالات التالية التي لا يمكن رسم مثلثا ABC:

1-\[ BC=4cm ; AC=6,3cm ; AB=8,5cm\]

2-\[ BC=8cm ; AC=2cm ; AB=5cm\]

3-\[ BC=6cm ; AC=8cm ; AB=10cm\]

تمرين 6.

- لاحظ الشكل التالي:

نضع: 

\[ BC=2,5cm ;  AB=4cm\]\[ BJ=2cm ;  CK=1cm\]

1- أحسب مساحة المثلث ABC؟

2- أحسب قياس القطعة AI ثم قياس القطعة AC؟

3- أحسب محيط المثلث ABC؟

تمرين 7.

مثلث متساوي الاضلاع محيطه يساوي 9cm.

- أحسب طول ضلع من اضلاع هذا المثلث ثم أنشئه؟

إرتفاعات مثلث:

تمرين 8.

ABC مثلث.

1- أرسم H مركز تعامد المثلث ABC.

2- ما هو مركز تعامد كل من المثلثات: HAB ; HBC ; HCA؟

تمرين 9.

EFG مثلث.

1- أرسم المستقيم (D) المار من E والموازي للمستقيم (FG).

2- أرسم [EH] ارتفاع المثلث EFG.

3- بين أن \[ (EH)\perp (D)\]

واسطات مثلث:

تمرين 10.

لاحظ الشكل التالي:

ماذا يمثل المستقيم (AB) بالنسبة للقطعة [EF].

تمرين 11.

- ABCD معين ، بين أن المستقيم (AC) واسط القطعة [AB].

تمرين 12.

- نعتبر القطعة [AB] و المستقيم (D) واسطها، M نقطة تنتمي الى (D) وتوجد خارج القطعة [AB].

1- أنجز شكلا مناسبا.

2- حدد طبيعة المثلث AMB.

تمرين 13.

- AMB مثلث متساوي الساقين في في M و I منتصف القطعة [AB]

- بين أن: \[ (AB)\perp (MI)\]

حلول التمارين.

زوايا المثلث:

تمرين 1.

ABC مثلث، قياس الزاوية  \[ \hat{BAC}\]في كل من الحالات التالية:

- بما أن مجموع زوايا مثلث تساوي 180 درجة.

1-   \[ \hat{ABC}+\hat{ACB}=110^{\circ}\Rightarrow \hat{BAC}=70^{\circ}\]

2- \[ \hat{ABC}+\hat{ACB}=80^{\circ}\Rightarrow \hat{BAC}=100^{\circ}\]

3- \[ \hat{ABC}+\hat{ACB}=125^{\circ}\Rightarrow \hat{BAC}=55^{\circ}\]

تمرين 2.

ABC مثلث قائم الزاوية في A، اذا قياس الزاوية\[ \hat{BAC}=90^{\circ}\]  .

- قياس الزاوية \[ \hat{ABC}\] في كل من الحالات الاتية:

1-\[ \hat{BAC}=90^{\circ}و\hat{ACB}=70^{\circ}\Rightarrow \hat{ABC}=90^{\circ}\]

2-\[ \hat{BAC}=90^{\circ}و\hat{ACB}=52^{\circ}\Rightarrow \hat{ABC}=38^{\circ}\]

3-\[ \hat{BAC}=90^{\circ}و\hat{ACB}=30^{\circ}\Rightarrow \hat{ABC}=60^{\circ}\]

تمرين 3.

- طبيعة المثلث في كل من الحالات الاتية:

1-َ لدينا \[ \hat{ABC}=\hat{ABC}=70^{\circ}\] إذن ABC مثلث متساوي الساقين في A.

2- لدينا \[ \hat{ABC}+\hat{ACB}=90^{\circ}\Rightarrow \hat{BAC}=90^{\circ}\] إذن المثلث ABC قائم الزاوية في A.

3- لدينا \[ \hat{ABC}+\hat{ACB}=120^{\circ}\Rightarrow \hat{BAC}=60^{\circ}\] ومنه المثلث ABC متساوي الاضلاع.

4- \[ \hat{ABC}=45^{\circ}و\hat{ACB}=45^{\circ}\]

تمرين 4.

- ABC مثلث متساوي الساقين في A حيث  \[ \hat{BAC}=80^{\circ}\]

1- الشكل.

2- مجموع قياسات زوايا مثلث هي: \[ \hat{ABC}+\hat{ACB}+\hat{BAC}=180^{\circ}\]وبما أن المثلث متساوي الساقين في A إذن \[ \hat{ABC}=\hat{ACB}=40^{\circ}\]

ومنه فإن قياس الزاوية \[ \hat{ABC}=40^{\circ}\]

إنشاء مثلث أطوال أضلاعه معلومة.

تمرين 5.

- تذكر أنه لإنشاء مثلث يجب أن يكون طول كل ضلع في المثلث اصغر من مجموع طولي الضلعين الأخرين ABC:\[ BC<AC+AB\]

الحالات التالية التي لا يمكن رسم مثلثا ABC الحالة 2:

2-\[ BC>AC+AB\]

تمرين 6.

- لدينا: 

\[ BC=2,5cm ;  AB=4cm\]\[ BJ=2cm ;  CK=1cm\]

1- حساب مساحة المثلث ABC:

نعلم أن AB=4cm و CK=1cm.

ومنه مساحة المثلث ABC هي 2cm²: \[ S=(AB\times CK)\div 2\]\[ S=(4\times 1)\div 2=2cm^{2}\]

2- قياس القطعة AI:

لدينا: \[ BC\times AI)\div 2=2\]ومنه: \[ AI=(2\times 2)\div BC\] 

أي: AI=1.6cm

- قياس القطعة AC:

لدينا: \[ (AC\times BJ)\div 2=2\]ومنه\[ AC=(2\times 2)\div BJ\]أي: AC=2cm

3- حساب محيط المثلث ABC:

AB+AC+BC=4+2+2.5=8.5cm

إذن محيط المثلث ABC هو: 8.5cm.

تمرين 7.

- مثلث متساوي الاضلاع محيطه يساوي 9cm.

طول ضلع من اضلاع المثلث هو \[ 9\div 3=3\]أي 3cm.

إرتفاعات مثلث:

تمرين 8.

تذكر أن مركز تعامد مثلث هو نقطة تقاطع ارتفاعات هذا المثلث.

لرسم H مركز تعامد المثلثABC نرسم فقط ارتفاعين.

1- H مركز تعامد المثلث ABC.

2-  مركز تعامد كل من المثلثات:

- مركز تعامد HAB ;هو C.

- مركز تعامد HAB ;هو A.

- مركز تعامد HAB ;هو B.

تمرين 9.

EFG مثلث.

1- المستقيم (D) المار من E والموازي للمستقيم (FG).

2- لدينا [EH] ارتفاع المثلث EFG.

- القطعة [EH] عمودية على القطعة [FG].

- المستقيم (D) متوازي على القطعة [FG].

تذكر:

- إذا كان لدينا مستقيمان متوازيان فكل مستقيم عمودي على أحدهما يكون عموديا على الأخر.

وبما أن كل مستقيم
3- نستنتج أن: \[ (EH)\perp (D)\]

واسطات مثلث:

تمرين 10.

- من خلال الشكل التالي:

تذكر أن: واسط قطعة هو مستقيم يمر بمنتصفها وعمودي على حاملها.

- لاحظ أن المستقيم (AB) يمر من النقطة O منتصف [EF] عمودي على المستقيم (EF).

تمرين 11.

- ننشئ المعين ABCD:

- القطعة [AC] والقطعة [AB] هما قطرا المعين ABCD.

- إذن\[ \left [ AC \right ]\perp \left [ BD \right ]\] و [AC] يمر من منتصف [BD] ومنه [AC] واسط [BD].

تمرين 12.

- القطعة [AB] و المستقيم (D) واسطها، M نقطة تنتمي الى (D) وتوجد خارج القطعة [AB].

1- الشكل.

2- طبيعة المثلث AMB.

- لدينا : M∈(D) و(D) واسط [AB] إذن: MA=MB.

- منه المثلث AMB متساوي الساقين في M.

تمرين 13.

- AMB مثلث متساوي الساقين في في M و I منتصف القطعة [AB].

- لدينا: MA=MB و IA=IB إذن (MI) واسط [AB].

وبالتالي: \[ (AB)\perp (MI)\]

كل ودي واحترامي لمتابعي المفيد التربوي.