متوازي الأضلاع هو مصطلح في الهندسة يشير إلى شكل هندسي يتكون من أربعة أضلاع متوازية ولها زوايا متساوية.
فيما يلي بعض المفاهيم الأساسية.
متوازي الاضلاع المستوى الأولى اعدادي
في الهندسة المستوى الاعدادي، يعتبر متوازي الأضلاع (ou parallélogramme) المدخل الرئيسي لفهم خاصيات الرباعيات الخاصة، مثل المربع والمستطيل والمعين.
أهداف الدرس
التمكن من
- خاصيات متوازي الاضلاع.
- استعمال هذه الخاصيات لتبرير بعض الانشاءات والنتائج.
ملخص للدرس
ملخص مختصر لدرس متوازي الاضلاع المستوى الأولى اعدادي.
تعريف متوازي الاضلاع
- متوازي الاضلاع هو رباعي حاملا كل ضلعين متقابلين متقاسيين ومتوازيين.
- قطراه لها نفس نقطة المنتصف.
- نقطة تقاطع أقطارمتوازي الأضلاع هي مركز التناظر تسمى المركز .
- قطراه لها نفس نقطة المنتصف.
- نقطة تقاطع أقطارمتوازي الأضلاع هي مركز التناظر تسمى المركز .
الخاصيات المميزة
خاصية القطرين
- إذا كان رباعي متوازي اضلاع فإن لقطريه نفس المنتصف.
- إذا كان لقطري رباعي نفس المنتصف فإن هذا الرباعي متوازي الاضلاع.
خاصية الاضلاع المتقابلة
- إذا كان رباعي متوازي اضلاع فإن أضلاعه المتقابلة متقايسة.
- إذا كان كل ضلعين متقابلين لرباعي متقايسسن فإن هذا الرباعي متوازي الاضلاع.
خاصية الزوايا
- إذا كان رباعي متوازي اضلاع فإن كل زاويتين متقابلتين فيه متقاسيتين.
- إذا كانت كل زاويتين متقابلتين في راعي متقاسيتين فإن هذا الرباعي متوازي الأضلاع.
ملاحظة
\[ \hat{A}+\hat{D}=180^{\circ}\]\[ \hat{D}+\hat{C}=180^{\circ}\]\[ \hat{C}+\hat{B}=180^{\circ}\]\[ \hat{B}+\hat{A}=180^{\circ}\]
هام جدا
لكي نبين أن رباعي متوازي الأضلاع يجب أن نبين أن:
- كل ضلعين متقابلين فيه متقايسين أو
- حاملي كل ضلعين متقابلين فيه متوازيين أو
- ضلعين متقابلين فيه متقايسان ومتوازيان أو
- كل زاويتين متقابلتين فيه متقايسين أو
- كل زاويتين متتابعتين فيه متكاملتان ( مجموعهما يساوي 180 درجة).
تمارين تطبيقية
تمرين 1
- استعمال التعريف.
- أنشئ متوازي اضلاع ABCD.
تصحيح التمرين 1
- استعمال التعريف.
- ننشئ متوازي اضلاع ABCD.
1- نرسم مستقيمين متقاطعين .
2- نرسم مستقيم يمر من B ويوازي (AD) ثم مستقيم يمر من D ويوازي (AB).
3- المستقيمان يتقاطعان في C.
4- الرباعي ABCD متوازي الاضلاع.
تمرين 2
- خاصية القطرين.
نعتبر(C1) و (C2) دائرتين لهما نفس المركزO.
[AB] قطر في الدائرة (C1).
[CD] قطر في الدائرة (C2).
حيث: A وB وC و D نقط غير مستقيمية.
- أثبت أن الرباعي ABCD متوازي الاضلاع.
تصحيح التمرين 2
- خاصية القطرين.
نعتبر(C1) و (C2) دائرتين لهما نفس المركزO.
- لدينا: [AB] قطر في (C1)، إذن O منتصف [AB].
- لدينا: [CD] قطر في (C2)، إذن O منتصف [CD].
وبالتالي ABCD متوازي أضلاع.
تمرين 3
- خاصية ضلعين متقابلين.
ABCD متوازي أضلاع و BEFC متوازي اضلاع.
1- أثبت أن: AD=EF.
2- برهن أن الرباعي AEFD متوازي اضلاع.
تصحيح التمرين 3
- خاصية ضلعين متقابلين.
1- نثبت أن: AD=EF.
- لدينا ABCD متوازي أضلاع.
إذن: AB=CD.
- لدينا BEFC متوازي أضلاع.
إذن: BC=EF.
ومنه: AD=EF.
2- نبرهن بأن الرباعي AEFD متوازي اضلاع.
- لدينا : ABCD متوازي اضلاع.
إذن : \[ (AD)\parallel (BC)\]
- لدينا: BEFC متوازي أضلاع.
إذن: \[ (EF)\parallel (BC)\]
ومنه: \[ (EF)\parallel (AD)\]
وبما أن: AD=EF.
فإذ الرباعي AEFD متوازي اضلاع.
تمرين 4
ABCD متوازي اضلاع.
1- أنشئ نقطة M من القطعة [AB] ونقطة N من القطعة [CD] حيث AM=CN.
2- أثبت أن الرباعي َAMCN متوازي اضلاع.
تصحيح تمرين 4
ABCD متوازي اضلاع.
1- ننشئ نقطة M من القطعة [AB] ونقطة N من القطعة [CD] حيث AM=CN.
2- أثبت أن الرباعي َAMCN متوازي اضلاع.
- لدينا:\[ M\in [AB]\] و \[ N\in [DC]\]
بما أن: \[ (DC)\parallel (AB)\] فإن: \[ (CN)\parallel (AM)\]
ونعلم أن: AM=CN
إذن: AMCN متوازي اضلاع.
تمرين 5
ABCD متوازي اضلاع مركزه O.
I منتصف القطعة [AB] و J منتصف القطعة [CD].
1- ماهي مماثلة القطعة [AB] بالنسبة للنقطة O ؟
2- استنتج أن النقطتين I و J متماثلتان بالنسبة للنقطة O.
تصحيح التمرين 5
1- مماثلة القطعة [AB] بالنسبة للنقطة O.
- بما انها ABCD متوازي اضلاع مركزه O، فإن مماثلة القطعة [AB] بالنسبة للنقطة O هي القطعة [CD].
2- استنتج أن النقطتين I و J متماثلتان بالنسبة للنقطة O.- لدينا I منتصف القطعة [AB] و J منتصف القطعة [CD].
- بما أن مماثلة [AB] بالنسبة للنقطة O هي [CD].
تذكر أن
التماثل المركزي يحافظ على المنتصف.
فإن: I و J متماثلتان بالنسبة للنقطة O.
التماثل المركزي يحافظ على المنتصف.
فإن: I و J متماثلتان بالنسبة للنقطة O.
![مماثلة القطعة [AB] بالنسبة للنقطة O](https3://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgz8rexIbmtpgFRcIAkGO34ZgegtxfdlMKZul9YpiZMHO2dtSK5fKzfZ7AVvR6M1qNOYZDFLWeWmorelAn_Vmd1PP9L7bItefloTi8hXDSvVxScunTPIbA3NS_T_OY_jUmIS4smBTCWpicyzE1QMMlhrhaQaP6jeJ6cIV80dqVmIG67OsYal4Qs1R4FZg/s454/2022-05-29_202523.png)
تمرين 6
1- أنشئ ثلاث نقط غير مستقيمية A وB وC.
2- أنشئ النقطة M مماثلة النقطة A بالنسبة للنقطة C.
3- أنشئ النقطة N مماثلة B بالنسبة للنقطة C.
4- اثبت أن المضلع الرباعي ABMN متوازي اضلاع.
تصحيح التمرين 6
- ننشئ ثلاث نقط غير مستقيمية A وB وC.
- أنشئ النقطة M مماثلة النقطة B بالنسبة للنقطة C. والنقطة N مماثلة A بالنسبة للنقطة C.
- نثبت أن المضلع الرباعي ABMN متوازي اضلاع.
لدينا: M مماثلة B بالنسبة للنقطة C.
إذن: C منتصف [BM].
لدينا: N مماثلة A بالنسبة للنقطة C.
إذن: C منتصف [AN].
وبالتالي: ABMN متوازي اضلاع.
تمرين 7
IJKL متوازي الاضلاع مركزه O.
M منتصف [OI] و N منتصف [OK] .
1- أنجز شكلا مناسبا.
2- أثبت أن O منتصف [MN].
3- أرسم الرباعي JMlN ثم حدد طبيعته، علل جوابك.
تصحيح التمرين 7
IJKL متوازي الاضلاع مركزه O.
1- ننجز شكلا مناسبا.
2- نثبت أن O منتصف [MN].
لدينا:
M منتصف [OI] إذن: OM=OI÷2 و N منتصف [OK] إذن: ON=OK÷2.
وبما أن: OI=OK فإن: OM=ON.
O∈[MN] و OM=ON إذن: O منتصف [MN].
3- نحدد طبيعة الرباعي JMlN ثم نعلل الجواب.
- في الرباعي JMLN لدينا O منتصف و [MN].
إذن: JMLN متوازي اضلاع.
