العمليات في المجموعة R وخاصياتها

 تمثل R مجموعة الأعداد الحقيقية.
 في المفهوم الرياضياتي، مجموعة الأعداد الحقيقية هو مفهوم أساسي يشمل جميع الأرقام التي نستخدمها بشكل شائع في الحياة اليومية، مثل الأعداد الصحيحة، الأعداد العشرية ، الأعداد الجدرية، وكذلك الأعداد غير الجدرية مثل π (pi) و الجدور المربعة.

هذا المفهوم الرياضي الجديد ضروري لفهم وحل العديد من المسائل الرياضية والعلمية. 

العمليات في المجموعة R وخاصياتها

فقرات الدرس

1. الترتيب والعمليات.
2. مجالات المجموعة R.
3. القيمة المطلقة وخاصياتها.
4. التأطير والتقريب.

1. الترتيب و العمليات في المجموعة R

مجموعة الأعداد الحقيقيىة المستوى الثانوي جدع مشتركن خيار علمي.
زادت قيمة الترتيب في مجموعة الأعداد الحقيقية R  بظهورها بشدة في المقارنات الإحصائية، وتغيرات الدوال العددية، وفي تحليل البيانات والمعطيات بشكل عام.

الترتيب والعمليات

توظيف الترتيب في مقارنة الأعداد الحقيقية.

تعريف 1

ليكن a و b عددين حقيقيين.

\[ a-b\geq 0\Leftrightarrow a\geq b\]

\[ a-b> 0 \Leftrightarrow a> b\]

مثال
نقارن العددين: \[ 3;\frac{295}{723}\]
نلاحظ أن العدد: \[ \frac{295}{723}< 1\] لأن البسط اصغر من المقام، وبالتالي :\[ \frac{295}{723}< 3\Leftrightarrow \frac{295}{723}-3< 0\]

خاصية 1
إذا كان:\[ b\leq c\; و \;a\leq b\]
فإن: \[ a\leq c \]

أمثلة\[ 45\leq 105\;\;105\leq 204\]فإن\[ 45<204\]

خاصية 2

a  و b و c  ثلاثة أعداد حقيقية.

إذا كان :\[ a\leq b\]

فإن : \[ a+c\leq b+c\]

أمثلة\[ 25,6\leq 56,02\]فان\[ 25,6+17\leq 56,02+17\]

تذكر
إضافة نفس العدد لكل طرف من متفاوتة لا يغير منحى هذه المتفاوتة.

نتيجة

a وb و c و d أعداد حقيقية.

إذا كان\[c\leq d\;\;a\leq b\]فإن\[a+c\leq b+d\]

خاصية 3
a وb وc ثلاثة أعداد حقيقية.
إذا كان \[c>0\;a\leq b\] فإن\[\frac{a}{c}\leq\frac{b}{c}\;\;ac\leq bc\]
إذا كان \[c>0\;a\leq b\] فإن\[\frac{a}{c}\geq\frac{b}{c}\;\;ac\geq bc\]
إذا كان \[c\geq 0\;\;a\geq b>0\]فإن\[0\leq\frac{c}{a}\leq\frac{c}{b}\]

ملاحظة
- ضرب كل طرف من متفاوتة في نفس العدد الموجب لا يغير منحى المتفاوتة.
- ضرب كل طرف من متفاوتة في نفس العدد السالب يغير منحى المتفاوتة.

نتائج
a وb وc وd أعدادا حقيقية.
- إذا كان\[0\leq a\leq b\] فإن\[\sqrt{a}\leq\sqrt{b}\;\;\triangleright\;\;a^{2}\leq b^{2}\]
- إذا كان\[a\leqslant b\leq 0\] فإن\[a^{2}\geq b^{2}\]
- إذا كان \[0\leq c\leq d\;\;{\color{Red}\triangleright}\;\;0\leq a\leq b\]فإن\[0\leq ac\leq bd\]

2. مجالات المجموعة R.

ليكن a و b عددين حقيقيين بحيث\[a<b\] 󠀬

مصطلحات و رموز

1. [a;b] يقرأ المجال المغلق الذي طرفاه a و b.
2. ]a;b[ يقرأ المجال المفتوح الذي طرفاه a و b .
3. ]a;b] يقرأ المجال المفتوح على اليمين الذي طرفاه a و b .
4. [a;b[ يقرأ المجال المفتوح على اليسار الذي طرفاه a و b .
5.  [a;+∞] يقرأ المجال a، زائد ما لا نهاية مغلق في a.
6. [-∞;b] يقرأ المجال ناقص مالا نهاية، مفتوح في b.
7. المجالات [a;b] و]a;b[ و[a;b[ و]a;b] مجالات محدودة.
8. المجالات  ]+∞;a] و]∞+;a[ و[b;∞-[ و]b;∞-[ مجالات غير محدودة.

مثال\[\sqrt{3}\in\left[-1,3\right]\]

ملاحظة
+∞ يقرأ زائد ما لا نهاية.
-∞ يقرا ناقص ما لا نهاية وهما رمزان وليسا عددين.
كل مجال غير محدود يكون مفتوحا جهة (+∞) أو جهة (+∞).

أمثلة

[3;-1] هو مجموعة الأعداد الحقيقية بحيث0\in \left [ -1,3 \right [

3. القيمة المطلقة لعدد حقيقي.

تعرف القيمة المطلقة لعدد حقيقي.

تعريف 2
ليكن (O,I)△ مستقيما مدرجا.
القيمة المطلقة لكل عدد حقيقي a هي المسافة بين النقطة M التي أفصولها a والنقطة O.

 رموز وتسميات

نرمز للقيمة المطلقة للعدد بالرمز.

إذا كان\[a\geq 0\]فإن\[\left|a\right|=a\]

إذا كان\[a\leq 0\] فإن\[\left|a\right|=-a\]

أمثلة

\[\left| 5\right|=5\]

\[\left| -100\right|=100\]

\[\left| \pi-3\right|=\pi-3\]

\[\left| -16,01\right|=16,01\]

\[\left| \sqrt{\pi }\right|=\sqrt{\pi }\]

\[\left| \sqrt{2}-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}-\sqrt{2}\]

\[\left| \frac{-14}{5}\right|=\frac{14}{5}\]

خاصيات القيمة المطلقة

خاصيات القيمة المطلقة للاعداد الحقيقية.

خاصية 4

لكل عددين  a و b 

\(\left|a\right|\geq 0\);\(a\leq\left|a\right|\);\(-a\leq\left|a\right|\);\(\left|a\right|=\left|-a\right|\);\(\left|a\right|^{2}=a^{2}\)
\(\left|a\right|=0\) تكافئ \(a=0\) تكافئ  \(a=b\) أو \(a=-b\)

خاصية 5

لكل عددين حقيقين a و b: \(\left|ab\right|=\left|a\right|\left|b\right|\) ; \(\left|a+b\right|\leq\left|a\right|+\left|b\right|\)

خاصية 6

ليكم عددا حقيقيا و 

أ- \(\left|x\right|\leq r\) تكافئ \(-r\leq r\leq r\) تكافئ  \(x\in\left[-r,r\right]\).

 \(\left|r\right|<r\) تكافئ \(-r<x<r\) تكافئ \(x\in\left]-r,r\right[\). 

ب-  \(\left|x\right|\geq r\) تكافئ  ( \(x\geq r\) أو \(x\leq-r\)) تكافئ (\( x\in\left[r,+\infty\right[\) أو \(x\in\left]-\infty,-r\right]\)).

\(\left|x\right|>r\)  تكافئ ( \(x>r\) أو \(x<-r\) ) تكافئ ( \(x\in\left]r,+\infty\right[\) أو \(x\in\left]-\infty,-r\right[\) ).

خاصية 7

لكل عددين حقيقين a وb ولكل عدد حقيقي موجب قطعا r.

\(\left|x-a\right|\leq r\)  تكافئ \(a-r\leq x\leq a+r\) تكافئ \(x\in\left[a-r;a+r\right]\).

\(\left|x-a\right|<r\) تكافئ \(a-r<x<a+r\) تكافئ \(x\in\left]a-r;a+r\right[\)

أمثلة

مجموعة الاعداد x بحيث  \(\left|x-1\right|\leq 2\) هي  \(\left[1-2;1+2\right]\) أي \(\left[-1;3\right]\) .

مجموعة الأعداد x بحيث  هي \(\left[-3-5;-3+5\right]\) أي \(\left[-8;2\right]\).

القيمة المطلقة ومسافة نقطتين على مستقيم مدرج

خاصية 8

لتكن \(A(a)\) و\(B(a)\) نقطتين على مستقيم مدرج \(\Delta(O,I)\) .

لدينا: المسافة \(AB\) تساوي \(\left|a-b\right|\).

تعريف 3

المسافة \(\left|a-b\right|\) لنقطتين \(A(a)\) و \(B(a)\) على ميتقيم مدرج، تسمى أيضا العددين \(a\) و\(b\) .

مثال

لنحدد الأعداد x التي مسافتها عن 2 تساوي 4 ( أي \(\left|x-2\right|=4\)). 

لتكن A النقطة على \(\Delta(O,I)\) التي افصولها 2 و M نقطة أفصولها x .

لدينا \(AM=\left|x-2\right|\).

تحديد الأعداد x هو البحث عن افاصيل النقط M على \(\Delta(O,I)\) بحيث \(AM=4\) .

هذه الافاصيل هي إذن 6 و - 2.

4.  التأطير والتقريب

تعريف 6

كل علاقة من نوع \(a\leq x\leq b\) تسمى تأطيرا للعدد \(x\).

العدد يسمى سعة هذا التاطير.

مثال

\(3,15\leq\pi\leq 3,14\) تاطيرا للعدد \(\pi\) سعته \(0,01\)

تعريف 7

ليكن x عددا حقيقيا  و r عددا حقيقيا موجبا قطعا، تسمى قيمة مقربة ( أو تقريبيا).

للعدد x بالدقة r كل عدد حقيقي a بحيث  \( a-r\leq x\leq a+r\).

مثال

لدينا \(1,414<\sqrt{2}<1,415\).

العدد 1,414 هو تقريب ل \(\sqrt{2}\) بالدقة  \(5\times 10^{-4}\).

خاصية 9

إذا كان \(a\leq x\leq b\) فإن العدد \(\frac{a+b}{2}\) هو قيمة مقربة للعدد x بالدقة \(\frac{b-a}{2}\) .

مثال

بواسطة محسبة علمية، تظهر شاشتها تأطيرا للعدد  \(\frac{123}{71}\) بتفريط وإفراط.

\[1,73\leq\frac{123}{71}\leq 1,74\]

\[1,732\leq\frac{123}{71}\leq 1,733\]

\[1,7323\leq\frac{123}{71}\leq 1,7324\]

\[1,73239\leq\frac{123}{71}\leq 1,73240\]

استثمار وتقويم التعلمات

سلسلة تمارين خيار عربية		سلسلة تمارين خيار فرنسية
سلسلة 1	تحميل	سلسلة 1	تحميل
سلسلة 2	تحميل	سلسلة 2	تحميل
سلسلة 3	تحميل	سلسلة 3	تحميل
سلسلة 4	تحميل	سلسلة 4	تحميل
سلسلة 5	تحميل	سلسلة 5	تحميل
سلسلة 6	تحميل	سلسلة 6	تحميل