نموذج امتحان الباكالوريا في مادة الرياضيات الهندسة الفضائية - الفلكة

نموذج امتحان الباكالوريا في مادة الرياضيات الهندسة الفضائية - الفلكة

هذه بعض نماذج امتحانات الباكالوريا رياضيات، وهي فرصة رائعة للتحضير للامتحان الموحد.

 من خلال حل هذه النماذج البسيطة، يمكن للمتعلم فهم نوعية الأسئلة التي قد تأتي في الامتحان الوطني الموحد، وكذلك التعرف على الطرق المختلفة لحل المسائل الرياضية المعقدة ويعتاد عليها.

- إليك بعض النصائح للاستفادة من هذه النماذج:

• حاول حل نماذج الأسئلة في الوقت المحدد وبدون مساعدة من أحد، لتعتاد على الضغط النفسي والزمن المتاحين أثناء الامتحان الحقيقي.
•  بعد حل النموذج المطلوب، قم بمراجعة إجاباتك ومقارنتها بالإجابات الصحيحة.
•  حدد الأخطاء التي ارتكبتها وتعلم منها.

نموذج امتحان الباكالوريا في مادة الرياضيات الهندسة الفضائية - الفلكة

تصحيح تمرين حول الهندسة الفضائية - الفلكة.

أسئلة التمرين

نص التمرين

• في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد منتظم مباشر \( (O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) نعتبر النقط \( A(0,1,1)\) و \( B(1,2,0)\) و \( C(-1,1,2)\)

1) أ) بين أن \( \vec{AB}\wedge\vec{AC}=\vec{i}+\vec{k}\)

ب) استنتج أن \( x+z-1=0\) معادلة دیكارتية للمستوى (ABC).

2) لتكن (S) الفلكة التي مركزها \( \Omega (1,1,2)\) وشعاعها \( R=\sqrt{2}\) حدد معادلة للفلكة (S).

3) بين أن المستوى (ABC) مماس للفلكة (S) في النقطة A.

4) نعتبر المستقيم (△) المار من اللقطة C والعمودي على المستوى (ABC).

أ) حدد تمثيلا باراسيتريا للمستقيم (△).

ب) بين أن المستقيم (△) مماس للفلكة (S) في نقطة D يتم تحديد إحداثياتها.

ج) أحسب الجداء السلمي \( \vec{AC}.(\vec{i}+\vec{k})\).

 ثم استنتج المسافة \( d(A,(\Delta ))\).

تصحيح التمرين

1)
أ) حساب:

\[ \vec{AB}\begin{pmatrix}1 \\1 \\-1 \\\end{pmatrix};\vec{AC}\begin{pmatrix}-1 \\0 \\1 \\\end{pmatrix}\]\[ \vec{AB}\wedge \vec{AC}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \\\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix}1 & -1 \\-1 & 1 \\\end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix} 1&-1 \\ 1&0 \\\end{vmatrix}\vec{k} \]

ب) معادلة ديكارتية للمستوى (ABC).

• بما أن: \( \vec{AB}\wedge \vec{AC}\begin{pmatrix}1 \\0\\1\\\end{pmatrix}\) هو متجهة متعامد مع المستوى (ABC)
•  وبالتالي: \( x+z+d=0\) وبما أن النقطة \( A(0,1,1)\) تنتمي للمستوى (ABC)
•  فإن: \( 1+d=0\Rightarrow d=-1\)\( \Rightarrow x+z-1=0\)

2) نحدد معادلة الفلكة (S)

• نعتبر النقطة M(x,y,z) تنتمي الى المستوى (ABC)

\[ M\epsilon S\Leftrightarrow \Omega M=R^{2}\]\[ (x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-2)^{2}=2\]

3) المستوى (ABC) مماس للفلة (S) في النقطة A

• نحسب المسافة بين الفلكة والنقطة A \[ d=d(\Omega, (ABC))\]

\[ d=d(\Omega ,(ABC))=\frac{\left| x_{\Omega }+z_{\Omega }-1\right|}{\sqrt{1^{2}+0+1^{2}}}\]\[ \Leftrightarrow d=\frac{\left| 1+2-1\right|}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\]
إذن:
النقطة A هي المسقط العمودي لنقطة Ω على (ABC) وهي مماس الفلكة مع المستوى (ABC).

4)
أ) تمثيلا باراميتريا للمستقيم (Δ).

• بما أن المستقيم (△) عمودي على المستوى \( (O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\)
•  إذن \( \vec{u}(1,0,1)\) هي المتجهة الموجهة له، ويمر من النقطة C(-1,1,2).
• ونعتبر \( M(x,y,z)\in R\) و \( t\in R\)
• حيث: \( M\in (\Delta )\Leftrightarrow \vec{CM}\parallel \vec{u}\Leftrightarrow \vec{CM}=t\vec{u}\)
• لدينا:

\[ \vec{CM}\begin{pmatrix}x+1 \\y-1 \\z-2 \\\end{pmatrix};t\vec{u}\begin{pmatrix}t \\ 0\\ t\\\end{pmatrix}\]\[ \vec{CM}=t\vec{u}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+1=t\\y-1=0 \\z-2=t\\\end{matrix}\right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-1+t\\y=1 \\z=2+t\\\end{matrix}\right.\]
ب) المستقيم (△) مماس للفلكة في نقطة (D):
لنحسب: \[ d(\Omega ,(\Delta ))\] و \[ \vec{u}(1,0,1)\] متجهة موجهة للمستوى (ABC)
\[ d(\Omega ,(\Delta ))=\frac{\left\| \vec{\Omega A}\wedge \vec{u}\right\|}{\left\| \vec{u}\right\|}\]
لدينا: \[ \vec{\Omega A}(-1,0,-1)\]\[ \vec{\Omega A}\wedge \vec{u}=\begin{vmatrix} 0&0 \\ -1&1 \\\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix} -1&1 \\ 1&1 \\\end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix}-1 &1 \\ 0&0 \\\end{vmatrix}\vec{k}\]\[ \vec{\Omega A}\wedge \vec{u}=0\vec{i}+2\vec{j}+0\vec{k}\]
\[ d(\vec{\Omega A\wedge }\vec{u})=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\]

قد يهمك أيضا

1. نموذج امتحان الباكالوريا في مادة الرياضيات حساب الاحتمالات