الامتحان الوطني الموحد للبكالوريا - الدورة العادية 2022، مادة الرياضيات شعبة العلوم التجريبية مسلك علوم الحياة والأرض ومسلك علوم الحياة والأرض.
الامتحان الوطني الموحد للبكالوريا 1 الدورة العادية 2022
تصحيح التمرين 1 للامتحان الوطني الموحد للبكالوريا العادية 2022.
التمرين الأول (3 نقط)
في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد منتظم مباشر
\[ (O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\] نعتبر النقط \( A(0,1,1)\) و \( B(1,2,0)\) و \( C(-1,1,2)\)
1) أ) بين أن \[ \vec{AB}\wedge\vec{AC}=\vec{i}+\vec{k}\]
ب) استنتج أن \[ x+z-1=0\] معادلة دیكارتية للمستوى (ABC).
2) لتكن (S) الفلكة التي مركزها \[ \Omega (1,1,2)\] وشعاعها \[ R=\sqrt{2}\] حدد معادلة للفلكة (S).
3) بين أن المستوى (ABC) مماس للفلكة (S) في النقطة A.
4) نعتبر المستقيم (△) المار من اللقطة C والعمودي على المستوى (ABC).أ) حدد تمثيلا باراسيتريا للمستقيم (△).
ب) بين أن المستقيم (△) مماس للفلكة (S) في نقطة D يتم تحديد إحداثياتها.
ج) أحسب الجداء السلمي \[ \vec{AC}.(\vec{i}+\vec{k})\] ثم استنتج المسافة \[ d(A,(\Delta ))\]
\[ (O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\] نعتبر النقط \( A(0,1,1)\) و \( B(1,2,0)\) و \( C(-1,1,2)\)
1) أ) بين أن \[ \vec{AB}\wedge\vec{AC}=\vec{i}+\vec{k}\]
ب) استنتج أن \[ x+z-1=0\] معادلة دیكارتية للمستوى (ABC).
2) لتكن (S) الفلكة التي مركزها \[ \Omega (1,1,2)\] وشعاعها \[ R=\sqrt{2}\] حدد معادلة للفلكة (S).
3) بين أن المستوى (ABC) مماس للفلكة (S) في النقطة A.
4) نعتبر المستقيم (△) المار من اللقطة C والعمودي على المستوى (ABC).أ) حدد تمثيلا باراسيتريا للمستقيم (△).
ب) بين أن المستقيم (△) مماس للفلكة (S) في نقطة D يتم تحديد إحداثياتها.
ج) أحسب الجداء السلمي \[ \vec{AC}.(\vec{i}+\vec{k})\] ثم استنتج المسافة \[ d(A,(\Delta ))\]
تصحيح التمرين 1
1)
أ) حساب:
\[ \vec{AB}\begin{pmatrix}1 \\1 \\-1 \\\end{pmatrix};\vec{AC}\begin{pmatrix}-1 \\0 \\1 \\\end{pmatrix}\]\[ \vec{AB}\wedge \vec{AC}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \\\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix}1 & -1 \\-1 & 1 \\\end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix} 1&-1 \\ 1&0 \\\end{vmatrix}\vec{k} \]
ب) معادلة ديكارتية للمستوى (ABC).
بما أن: \[ \vec{AB}\wedge \vec{AC}\begin{pmatrix}1 \\0\\1\\\end{pmatrix}\] هو متجهة متعامد مع المستوى (ABC) وبالتالي: \[ x+z+d=0\] وبما أن النقطة \[ A(0,1,1)\] تنتمي للمستوى (ABC) فإن: \[ 1+d=0\Rightarrow d=-1\]\[ \Rightarrow x+z-1=0\]
2) نحدد معادلة الفلكة (S)
نعتبر النقطة M(x,y,z) تنتمي الى المستوى (ABC)
\[ M\epsilon S\Leftrightarrow \Omega M=R^{2}\]\[ (x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-2)^{2}=2\]
3) المستوى (ABC) مماس للفلة (S) في النقطة A
نحسب المسافة بين الفلكة والنقطة A \[ d=d(\Omega, (ABC))\]
\[ d=d(\Omega ,(ABC))=\frac{\left| x_{\Omega }+z_{\Omega }-1\right|}{\sqrt{1^{2}+0+1^{2}}}\]\[ \Leftrightarrow d=\frac{\left| 1+2-1\right|}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\]
إذن:
النقطة A هي المسقط العمودي لنقطة Ω على (ABC) وهي مماس الفلكة مع المستوى (ABC).
4)
أ) تمثيلا باراميتريا للمستقيم (Δ).
بما أن المستقيم (△) عمودي على المستوى \[ (O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\] إذن \[ \vec{u}(1,0,1)\] هي المتجهة الموجهة له، ويمر من النقطة C(-1,1,2).
ونعتبر \[ M(x,y,z)\in R\] و \[ t\in R\]
حيث:
\[ M\in (\Delta )\Leftrightarrow \vec{CM}\parallel \vec{u}\Leftrightarrow \vec{CM}=t\vec{u}\]
لدينا:
\[ \vec{CM}\begin{pmatrix}x+1 \\y-1 \\z-2 \\\end{pmatrix};t\vec{u}\begin{pmatrix}t \\ 0\\ t\\\end{pmatrix}\]\[ \vec{CM}=t\vec{u}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+1=t\\y-1=0 \\z-2=t\\\end{matrix}\right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-1+t\\y=1 \\z=2+t\\\end{matrix}\right.\]
ب) المستقيم (△) مماس للفلكة في نقطة (D):
لنحسب: \[ d(\Omega ,(\Delta ))\] و \[ \vec{u}(1,0,1)\] متجهة موجهة للمستوى (ABC)
\[ d(\Omega ,(\Delta ))=\frac{\left\| \vec{\Omega A}\wedge \vec{u}\right\|}{\left\| \vec{u}\right\|}\]
لدينا: \[ \vec{\Omega A}(-1,0,-1)\]\[ \vec{\Omega A}\wedge \vec{u}=\begin{vmatrix} 0&0 \\ -1&1 \\\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix} -1&1 \\ 1&1 \\\end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix}-1 &1 \\ 0&0 \\\end{vmatrix}\vec{k}\]\[ \vec{\Omega A}\wedge \vec{u}=0\vec{i}+2\vec{j}+0\vec{k}\]
\[ d(\vec{\Omega A\wedge }\vec{u})=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\]
أ) حساب:
\[ \vec{AB}\begin{pmatrix}1 \\1 \\-1 \\\end{pmatrix};\vec{AC}\begin{pmatrix}-1 \\0 \\1 \\\end{pmatrix}\]\[ \vec{AB}\wedge \vec{AC}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \\\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix}1 & -1 \\-1 & 1 \\\end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix} 1&-1 \\ 1&0 \\\end{vmatrix}\vec{k} \]
ب) معادلة ديكارتية للمستوى (ABC).
بما أن: \[ \vec{AB}\wedge \vec{AC}\begin{pmatrix}1 \\0\\1\\\end{pmatrix}\] هو متجهة متعامد مع المستوى (ABC) وبالتالي: \[ x+z+d=0\] وبما أن النقطة \[ A(0,1,1)\] تنتمي للمستوى (ABC) فإن: \[ 1+d=0\Rightarrow d=-1\]\[ \Rightarrow x+z-1=0\]
2) نحدد معادلة الفلكة (S)
نعتبر النقطة M(x,y,z) تنتمي الى المستوى (ABC)
\[ M\epsilon S\Leftrightarrow \Omega M=R^{2}\]\[ (x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-2)^{2}=2\]
3) المستوى (ABC) مماس للفلة (S) في النقطة A
نحسب المسافة بين الفلكة والنقطة A \[ d=d(\Omega, (ABC))\]
\[ d=d(\Omega ,(ABC))=\frac{\left| x_{\Omega }+z_{\Omega }-1\right|}{\sqrt{1^{2}+0+1^{2}}}\]\[ \Leftrightarrow d=\frac{\left| 1+2-1\right|}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\]
إذن:
النقطة A هي المسقط العمودي لنقطة Ω على (ABC) وهي مماس الفلكة مع المستوى (ABC).
4)
أ) تمثيلا باراميتريا للمستقيم (Δ).
بما أن المستقيم (△) عمودي على المستوى \[ (O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\] إذن \[ \vec{u}(1,0,1)\] هي المتجهة الموجهة له، ويمر من النقطة C(-1,1,2).
ونعتبر \[ M(x,y,z)\in R\] و \[ t\in R\]
حيث:
\[ M\in (\Delta )\Leftrightarrow \vec{CM}\parallel \vec{u}\Leftrightarrow \vec{CM}=t\vec{u}\]
لدينا:
\[ \vec{CM}\begin{pmatrix}x+1 \\y-1 \\z-2 \\\end{pmatrix};t\vec{u}\begin{pmatrix}t \\ 0\\ t\\\end{pmatrix}\]\[ \vec{CM}=t\vec{u}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+1=t\\y-1=0 \\z-2=t\\\end{matrix}\right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-1+t\\y=1 \\z=2+t\\\end{matrix}\right.\]
ب) المستقيم (△) مماس للفلكة في نقطة (D):
لنحسب: \[ d(\Omega ,(\Delta ))\] و \[ \vec{u}(1,0,1)\] متجهة موجهة للمستوى (ABC)
\[ d(\Omega ,(\Delta ))=\frac{\left\| \vec{\Omega A}\wedge \vec{u}\right\|}{\left\| \vec{u}\right\|}\]
لدينا: \[ \vec{\Omega A}(-1,0,-1)\]\[ \vec{\Omega A}\wedge \vec{u}=\begin{vmatrix} 0&0 \\ -1&1 \\\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix} -1&1 \\ 1&1 \\\end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix}-1 &1 \\ 0&0 \\\end{vmatrix}\vec{k}\]\[ \vec{\Omega A}\wedge \vec{u}=0\vec{i}+2\vec{j}+0\vec{k}\]
\[ d(\vec{\Omega A\wedge }\vec{u})=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\]